特異値分解 - blob glob

特異値分解 - Wikipedia
$M=U\Sigma V^*$
要はこの式のように分解できるって話。
これ、Mが正方行列だったら固有値問題になる……んだろうか。そうでもないんだろうか。
$Mv=\sigma u$ かつ $M^*u=\sigma v$ を満たす場合に、σを特異値、uを左特異ベクトル、vを右特異ベクトルと呼ぶ。
自分が普段エルミート演算子ばっかり扱ってるからつい $M=M^*$ と思ってしまうけど、そうでもないんだよな……。もしそうなら当然u=vになって、そのまま固有値問題だ。しかしそうではない。Mにはそんな制限はない。もっとも、固有値問題にだってそもそもそんな制限はなく、固有値が複素数だって全然構わない。

固有値問題は、対象の行列が正方行列で、かつu=vであるような特殊な特異値分解だ、ということだろうか。正方行列であることとu=vであることは恐らくそんなに関係がない。いやもちろんu=vだったら必ず正方行列になるけども。

んーと。UとVはユニタリ行列、つまり基底変換行列だ。↑のページでは、Uが入力基底の行列、Vが出力基底の行列と書いている。変換全体を定数倍で表せるような基底があり、その基底をX、入力基底をA、出力基底をBとすると、
$A\rightarrow^U X\rightarrow^{V^*} B$
というような変換が行なわれていると考えられる。
あれ、そうすると、A=Bなら当然U=Vじゃないか。制御とかの行列なら入出力で基底が異なることも多々あるだろうけど。

なんとなくわかってきた。