Green関数 - blob glob

Green関数とは？

方程式
$(E-\mathscr{H})a(x) = b(x)$
の解となる $a(x)$ を求めるために、 $G(E) = (E-\mathscr{H})^{-1}$ なる関数を考え、それを使って、 $a(x) = \int dx' G(x, x', E)b(x)$ として解を得る手法。この $G(x, x', E)$ は、 $\mathscr{H}$ の固有値 $E_\alpha$ と固有関数 $\psi_\alpha(x)$ を使って、 $G(x, x', E) = \sum_\alpha \frac{\psi_\alpha(x)\psi_\alpha^*(x')}{E-E_\alpha}$ と表すことができる。

……らしい。ところでこれを拡張し、 $f(E, \mathscr{H})a(x) = b(x)$ の $f(E, \mathscr{H})$ に対するGreen関数 $G(E)$ を作ることができるだろうか？上の場合とは違うので、固有値や固有関数で表せるとは限らないが、特定の形のfや $\mathscr{H}$ に対してなんらかの計算方法があるだろうか？
どうもそれをやってるっぽいんだよなぁ……

……しかしまさかmimetexで\mathscrが使えるとは思わなかったｗすげぇｗ