ベーシックに

[結] 2007年6月 - 結城浩の日記
とりあえず基本に忠実に。
要するに2をかけて全体のルートを取ってるわけで、漸化式は
$a_n = \sqrt{2a_{n-1}} = 2^{\frac{1}{2}}a_{n-1}^{\frac{1}{2}}$
となる。とすると、 $a_0 = 1$ だ。
次にnに対する表式*1を求める。
$a_n = 2^{\frac{1}{2}}a_{n-1}^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}}2^{\frac{1}{2^2}}a_{n-2}^{\frac{1}{2^2}} = \cdots = \Pi_{k=1}^{n}2^{\frac{1}{2^k}} \cdot a_0 = \Pi_{k=1}^{n}2^{\frac{1}{2^k}}$
で、累乗の掛け算なので、肩の足し算に変換。
$a_n = \Pi_{k=1}^{n}2^{\frac{1}{2^k}} = 2^{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}}$
さすがに見づらいな……
$a_n = 2\^\left({\sum_{k=1}^{n}{2^{-k}\right)$
こういうことです。
肩の部分はふつーの等比級数なんで、和を出す。
${\sum_{k=1}^{n}{2^{-k} = \frac{1}{2}\frac{1-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}} = 1-\frac{1}{2^{n+1}}$
つまり、
$a_n = 2^{1-\frac{1}{2^{n+1}}}$
なので、
$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 2^1 = 2$
……一応解けたか。しかし入試で出たら間違いなく飛ばして後回しにするだろうなコレはｗ
ミルカさんの言う「一瞬で」解ける方法はよくわからん。無限の意味……？
もうちょっと一般的に拡張してみるか*2。初項 $a_0 = 1$ を固定し、pをかけてq乗根を取る(1/q乗する)、とする。但しpは任意の実数、qは $q>1$ の実数にしておく*3。
するとさっきまでの式が大体そのまま置き換えられて、
$a_n = p\^\left(\frac{1}{q}\frac{1-\frac{1}{q^{n+1}}}{1-\frac{1}{q}}\right)$
$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = p^{\frac{1}{q-1}}$
……特に何かわかるってわけでもないな。うーむ。
確かに簡単な式にはなったが、こういうことじゃない気がしてきた。もっと概念的な……うーむ。わからん。

追記

縛りをもうちょっときつい状態にして、「pかけて2乗根」にする。すると、極限値はp。
イメージ的には、pをかけてルートを取ることを繰り返すのは、pに近づきそうな気が確かにする。しかし本当にそうか？いや、本当にそうなんだが、そのイメージと解の式の間の隔たりが大きすぎる。その間を埋める位置にあるのがミルカさんの解答のような気がする。どうなんだろう……

*1:「表式」って変換候補に無いのかよMS-IMEよ('A`)それとも読み方間違ってるのかな……「ひょうしき」じゃないのかな……

*2:みるか……？まぁあの人の名前の由来ではあるまい。

*3:pは任意の複素数、qは絶対値が1より大きい複素数でも成り立つような気はする。