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ミルカさんとコンボリューション。よくわからないところを書き直してみる。ネタバレなので、まず↑のを読んでくださいね。


p.19は以下のとおり。

a_n = {2n \choose n} - {2n \choose n+1}
= \frac{(2n)^{\underline{n}}}{(n)^{\underline{n}}} - \frac{(2n)^{\underline{n+1}}}{(n+1)^{\underline{n+1}}}
= \frac{(n+1)\cdot(2n)^{\underline{n}}}{(n+1)\cdot(n)^{\underline{n}}} - \frac{(2n)^{\underline{n}}\cdot(n)}{(n+1)\cdot(n)^{\underline{n}}}
= \frac{(n+1)\cdot(2n)^{\underline{n}} - (2n)^{\underline{n}}\cdot(n)}{(n+1)\cdot(n)^{\underline{n}}}
= \frac{1}{n+1}\cdot\frac{(2n)^{\underline{n}}}{(n)^{\underline{n}}}
= \frac{1}{n+1}{2n \choose n}

問題なのは2行目から3行目の第2項の変化。 m^{\underline{n}} = \frac{m!}{(m-n)!}*1であれば、次のように書きなおせるはず。

\frac{(2n)^{\underline{n+1}}}{(n+1)^{\underline{n+1}}}
= \frac{\frac{(2n)!}{(2n-(n+1))!}}{\frac{(n+1)!}{\(\(n+1\)-\(n+1\)\)!}}
= \frac{\frac{(2n)!}{(n-1)!}}{(n+1)!}

ここから、分母の (n+1)、分子の (2n)^{\underline{n}}をくくりだす。

= \frac{\frac{(2n)!}{(n-1)!}\cdot \frac{n}{n}}{(n+1)\cdot(n)!}
= \frac{\frac{(2n)!}{n!}\cdot(n)}{(n+1)\cdot(n)!}
= \frac{\frac{(2n)!}{(2n-n)!}\cdot(n)}{(n+1)\cdot(n)!}
= \frac{(2n)^{\underline{n}}\cdot(n)}{(n+1)\cdot(n)!}

ふぅ。ようやく繋がった。慣れない記号だと戸惑ってしまうが、わかってしまえばなんてことない変形だ。

*1:m, nはともに整数と仮定